Etude d’ une pompe à chaleur (suite)

Pour exprimer l’ efficacité thermique instantanée e_th de la pompe à chaleur, nous allons envisager un cycle élémentaire de durée dt au cours duquel une masse dm de fluide fluide frigorigène subit une succession de transformations réversibles .

Les transferts énergétiques au cours du cycle élémentaire sont les suivants :

Echange thermique  entre dm et la masse m₁ d’ eau constituant la pseudo-source chaude à la température T_C.

Echange thermique  entre dm et la masse m₂ (m₂=m₁=M) d’ eau constituant la pseudo-source froide à la température T_F.       

Echange mécanique  entre dm et les parties mobiles (piston) du compresseur.       

L’ utilisation combinée des premier et deuxième principe de la thermodynamique va permettre de trouver l’ expression de l’ efficacité thermique instantanée e_th.

Premier principe pour le cycle : + + = 0 = dH_cycle avec < 0 ; > 0 ; > 0.

Deuxième principe pour le cycle :

Par définition, l’ efficacité thermique instantanée de la pompe à chaleur est :

En exprimant  en fonction de et , on obtient :

Or, d’ après le deuxième principe :          

Ce qui donne pour l’ efficacité thermique instatanée :

Remarques : cette efficacité thermique est supérieure (hypothèse de la réversibilité) à l‘ efficacité que l’ on obtient pour la PAC réelle.

Au cours du cycle élémentaire, la température de la masse M d’ eau de la pseudo-source chaude varie de dT_C (>0) ; La masse M d’ eau reçoit la chaleur :

- = M c_eaudT_C.

De même, la température de la masse M d’ eau de la pseudo-source froide varie de dT_F (<0) ; La masse M d’ eau cède la chaleur :

- = M c_eaudT_F.

En remplaçant dans la relation exprimant le deuxième principe :

Pour une durée de fonctionnement, on peut écrire :

où T₀ représente ici la température commune initiale des 2 pseudo-sources. L’ intégration donne :

L’ expérience menée conduit-elle à un résultat très différent de cette dernière relation ? Pour répondre à cette question, voici une copie d' écran de la feuille de calcul d' un tableur où apparaîssent les valeurs du produit TC.TF sur 30 min de fonctionnement : Les calculs donnent :  et L’ écart relatif entre ces 2 valeurs moyennes est de l’ ordre de 2% [il est compris entre 0,7% et 3% ce qui laisse penser que les irréversibilités ne sont pas élevées (!)]