Etude du radiateur Donné en mai 2001

Une solution pour compenser les pertes de chaleur consiste à placer un radiateur dans la pièce. L'eau chaude provenant de la chaudière pénètre dans le radiateur à la température de 65°C avec un débit - volume  D_v = 5,5 L / min.

On donne : masse volumique de l'eau :                         = 1000 kg.m ^-3

capacité thermique massique de l'eau liquide :          c = 4,18.10 ³ J.kg ^–1.K^-1

Viscosité dynamique de l'eau :                                       = 1,0.10 ^-3 Pa.s

Le radiateur est constitué par un tube de diamètre 34 mm disposé en serpentin (voir schéma) mais équivalent à un tube droit de même longueur dans lequel l'eau circule horizontalement.

N.B. : Si dans la résolution d'une question des hypothèses supplémentaires apparaissent nécessaires, il convient de les énoncer clairement.

II-1. Montrer que le régime d'écoulement est turbulent. En conséquence on considérera que la température de l'eau est homogène dans une section droite du tuyau.

II-2. Calculer la température de l'eau à la sortie du radiateur sachant que le flux cédé par le radiateur est de 550 W.

II-3. On admet un coefficient global d'échange K constant le long du tube. On veut calculer la surface d'échange S entre l'eau chaude et l'air ambiant.

Entre les plans d'abscisses z et z+dz, le fluide chaud cède à travers la surface d'échange dS, pendant la durée dt, la quantité de chaleur, où  est la température de l'air ambiant, constante ( = 19°C).

II-3.1. Exprimer pendant cet intervalle de temps dt la masse dm d'eau chaude qui traverse une section du tube.

II-3.2. Exprimer la quantité de chaleur cédée par cette masse de fluide quand elle passe de la température  à la température  pendant dt en considérant :

- d'une part l'échange avec l'air extérieur

- d'autre part l’ abaissement  de la température de l'eau.

En déduire l'équation différentielle reliant  et dS. (On négligera la diffusion thermique dans l'eau) . Intégrer cette équation différentielle entre l'entrée et la sortie du tube. Montrer que :

où  et  sont les températures d’ entrée et de sortie de l’ eau dans le radiateur. ( voir schéma ci-dessous ).

II-3.3 Application numérique : K = 5,73 W. m ^-2.K^-1. Calculer la surface totale d'échange S.