Fiche 1 de révision                          Statique des fluides.

                                                      Dynamique des fluides incompressibles parfaits.             

Connaissances préalables :           Relation de la statique des fluides ; calcul des forces de pression exercées par un liquide sur une paroi.

Théorème de Bernoulli dans sa forme la plus simple pour un liquide idéal ( pas de machine ) :

p + r g z + 1/2 r v 2 = cte sur une ligne de courant et dans une canalisation ( bien connaître la signification des 3 termes ).

EXERCICE 1  :

Un récipient rectangulaire de largeur a = 1 m et de longueur b = 2 m contient un liquide sur une hauteur H = 1,25 m.

Calculer les forces de pression exercées par le liquide sur chacune des parois latérales du récipient en appliquant la relation de l' hydrostatique entre un point de la surface libre et le point de côte z, en exprimant la force élémentaire dF (sur la paroi considérée) en fonction de dz puis finalement en intégrant entre z = 0 et z = H.

     

2) Quelle est la force totale de pression exercée par le liquide sur le récipient ?

Données :      r = 1,2 g.cm - 3    ;   P 0 = 1,013.10 5 Pa   ;   g = 9,81 m .s - 2

EXERCICE 2  :

Un récipient de très grande section S contient un liquide supposé parfait de masse volumique r. La hauteur H de liquide dans le récipient est maintenue constante. Le liquide s' écoule par une canalisation horizontale cylindrique de section s << S, placée à la base du récipient.

1) a) La pression atmosphérique P 0 s' exerçant en M et en B, établir l' expression littérale de la vitesse en B en appliquant le théorème de Bernoulli entre les points M et B. Calculer v B.
( Cliquez sur ce bouton pour ouvrir dans une nouvelle fenêtre le schéma ).

 b) Calculer le débit volumique Q v .

Données :      H = 3 m   ;   g = 9,81 m .s - 2   ;  diamètre de la canalisation d = 0,05 m   ;   

                        P 0 = 10 5 Pa   ;   r = 1000 kg.m - 3.   

2) On fixe à la sortie de la canalisation un tube de diamètre d' = d / 2.

 a) En appliquant le théorème de Bernoulli entre les points M et C, calculer la vitesse d' écoulement au point C. ( ).

 b) Calculer alors le nouveau débit volumique Q 'v de sortie ( au point C ).

c) Calculer la nouvelle vitesse d' écoulement  v  ' B au point B.

3) On coude le tube à angle droit. La partie verticale, dirigée vers le bas, a une longueur L = 0,40 m ( ). Exprimer littéralement puis calculer :

La vitesse d' écoulement v C ' au point C ' et la pression statique P C  au point C.

EXERCICE 3 :

Un tube de Venturi est constitué d' un convergent et d' un divergent que l' on intercale dans une conduite où circule un fluide de masse volumique r et dont on veut mesurer le débit volumique Q v.

Sur ce tube sont prévues deux prises de pression statique. S 1 et S 2 sont les sections droites de la conduite à l' endroit des prises de pression. S 2 / S 1 = 0,5 ; v1 et v2 sont les vitesses du fluide respectivement en A 1 et A 2 ; P 1 et P 2 sont les pressions statiques du fluide resp. en A 1 et A2.

1) a) Comparer, en justifiant, v1 et v2 ; En déduire le rapport v2 / v1 des vitesses.

 b) Comparer P 1 et P 2 sans effectuer de calcul mais en justifiant la réponse.

2) Le tube de Venturi étant horizontal, écrire le théorème de Bernoulli entre les points A 1 et A 2 puis établir l' expression de D P =  P 1 - P 2  en fonction de r , v1 et v2.

3)Si l' écoulement est permanent,déterminer l' expression de D P en fonction de r,Q v,S1 et S2.

4) Calculer Q v sachant que :          r = 900 kg.m -3   ;   P 1 - P 2 = 36.10 2 Pa   ;  S 1 = 30 cm 2.

5) En déduire la différence H des hauteurs de fluide dans les tubes. ( g = 9,81 m .s - 2 ).   

EXERCICE 4 :

Pour vider un réservoir d' eau rectangulaire de section S, on utilise un siphon de section s. Après avoir fermé les deux bouts du siphon préalablement rempli d' eau ( amorçage), on place une extrémité à z0 = 25 cm au-dessous de la surface libre de l' eau dans le réservoir et on laisse pendre l' autre extrémité librement à l' extérieur , à h = 50 cm au-dessous du bout immergé. On assimile l' eau à un fluide parfait.

On donne : S = 3 m 2 , s = 3 cm 2 , g = 9,81 m .s - 2

( )

1) Exprimer littéralement la vitesse d' écoulement en B quand on ouvre le système en fonction de g, z0 et h. Calculer vB.

2) On vide 450 L d' eau pendant le temps t 1;Calculer la côte du niveau d' eau dans le réservoir à t1.

3) a) Exprimer de deux façons différentes la variation  élémentaire d V du volume d' eau pendant un intervalle de temps très court d t.

 b) Etablir l' expression donnant le temps nécessaire t 1 pour réaliser cette opération puis calculer t 1

EXERCICE 5 :

On considère le dispositif hydraulique schématisé ci - dessous :

Un réservoir de grande capacité est relié par sa base à un tube horizont l BC, cylindrique, de rayon R ( section S ). L' extrémité C est prolongée par un coude CD, de même section S, tel que l' extrémité D, ouverte à l' air se situe à une hauteur h1 au-dessus du tube. ( h1 >> R ).

Le système est rempli d' eau de masse volumique r et la hauteur d' eau h 2 est maintenue constante dans le réservoir. La pression extérieure est partout égale à la pression atmosphérique P0.

1) L' eau, fluide parfait incompressible, s' écoule dans le tube ; L' écoulement est stationnaire.

 a) Rappeler le sens de ces hypothèses.

 b) Déterminer l' expression de la vitesse de sortie v D de l' eau en D en appliquant le théorème de Bernoulli entre les points A et D.

2) Déterminer l' expression de la différence de pression D p = p M - p 0  où  p M  est la pression en M, milieu du tube BC.

3) Le tube BC est constitué d' une substance thermosensible qui se contracte lorsque sa température T diminue : son rayon R varie de la quantité D R pour une variation D T de la température selon la loi :

On cherche à exprimer en fonction de : a ,  D T  et S , la nouvelle section S ' du tube BC lorsque T varie de D T.       

- exprimer S en fonction de R . ( température T ).

- exprimer S ' en fonction de R et D R ( température T + D T ).

 - En utilisant l' approximation suivante : si x << 1  alors  ( 1 + x ) n  »  1+ n x , démontrer que S ' » S ( 1+ 2 a D T ).

4) Déterminer alors la différence de pression D p ' = p ' M - p 0 où  p ' M  est la nouvelle pression en M lorsque T a varié de D T.

5) Pour quelle variation limite D T1 de la température a - t' - on :  D p ' = p ' M - p 0 = 0 ?

6) Application numérique :   h 2 = 1 m  ;  h 1 = 0,1 m  ;  On suppose que la température pour laquelle la section est S vaut 300 K et  a = 1,2.10 - 3 K - 1.

Calculer D T1 et la température limite T1  pour laquelle  p ' M - p 0 = 0.

7) Dans le cas où la paroi du tube BC est élastique, que se passe t' - il  si sa température devient inférieure à T1 ?

 

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